ثابت - تسعير - fx - خيارات

التسعير المتسق لخيارات الفوركس النسخ 1 التسعير المتوافق لخيارات الفوركس أنطونيو كاستاغنا فابيو ميركوريو بانكا إيمي، ميلانو في الأسواق الحالية، عادة ما تكون الخيارات مع ضربات مختلفة أو آجال استحقاق مختلفة مع تقلبات ضمنية مختلفة. هذه الحقيقة منمقة، والتي يشار إليها عادة باسم تأثير الابتسامة، يمكن استيعابها من خلال اللجوء إلى نماذج محددة، إما لتسعير المشتقات الغريبة أو للاستدلال على التقلبات الضمنية للإضرابات غير المدرجة أو آجال الاستحقاق. وعادة ما تتحقق المهمة السابقة من خلال إدخال ديناميات بديلة لسعر الأصول الأساسي، في حين أن هذه الأخيرة غالبا ما يتم معالجتها عن طريق تعديلات ثابتة أو استيفاء. في هذه المقالة، ونحن نتعامل مع هذه المسألة الأخيرة وتحليل حل ممكن في سوق العملات الأجنبية (فكس) خيار السوق. في مثل هذه السوق، في الواقع، هناك ثلاثة فقط يقتبس النشطة لكل نضج السوق (على امتداد، وعكس المخاطر والفراغ المرجح فيغا)، مما يعرض لنا مع مشكلة تحديد ثابت من التقلبات الضمنية الأخرى. وعادة ما يعالج وسطاء الفوركس وصناع السوق هذه المسألة باستخدام إجراء تجريبي يسمى أيضا فانا-فولغا (فف) لبناء الابتسامة الكاملة لنضج معين. وتقدم بعد ذلك تقلبات تقلب من حيث الخيار s، ل يتراوح من 5 وضعت إلى المكالمة 5. في ما يلي، سوف نستعرض هذا الإجراء السوق لعملة معينة. على وجه الخصوص، فإننا سوف تستمد صيغ مغلقة لجعل البناء أكثر وضوحا. سنقوم بعد ذلك باختبار المتانة (بالمعنى الساكن) للابتسامة الناتجة، حيث أن التغير المستمر في أزواج الإضراب والتقلب الثلاثة ينتج في نهاية المطاف نفس منحنى التقلب الضمني. سوف نبين أيضا أن نفس الإجراء المطبق على المطالبات وروبيان ستايل يتسق مع نتائج النسخ المتماثل ثابت والنظر، على سبيل المثال، والحالة العملية للخيار الأوروبي الكمي. وسوف نثبت أخيرا أن إجراءات السوق يمكن أيضا تبريرها من الناحية الدينامية، من خلال تحديد استراتيجية التحوط التي تتكرر محليا والتمويل الذاتي. 2 وصف موجز لسوق خيارات الفوركس في سوق خيارات العملات الأجنبية، يتم بناء مصفوفة التقلب وفقا لقاعدة دلتا لزجة. الافتراض الأساسي هو أن الخيارات يتم تسعيرها اعتمادا على دلتا، بحيث عندما يتحرك سعر الأصول الأساسي ويغير دلتا الخيار وفقا لذلك، يجب أن يكون هناك تقلب ضمني مختلف في صيغة التسعير. 1 2 سوق خيار الفوركس سائل جدا، حتى فترة طويلة من تاريخ انتهاء الصلاحية (2 سنة، على الأقل لسعر صرف اليورو مقابل الدولار الأميركي). إن التقلبات في الأموال (أتم) متاحة بسهولة، كما يتم تداول تداول عكس المخاطر (ر) ل 25 مكالمة ووضع و فراشة مرجحة (فيجا) مع 25 جناحا. 1 من هذه البيانات يمكن للمرء أن يستنتج بسهولة ثلاثة التقلبات الضمنية الأساسية، والتي يمكن للمرء ثم بناء الابتسامة بأكملها لمجموعة من تشغيل من 5 وضعت إلى مكالمة 5 وفقا للطريقة سنقوم الخطوط العريضة أدناه. ونشير إلى قيمة سعر الصرف المعطى في الوقت t ونفترض معدلات ثابتة محلية وأجنبية خالية من المخاطر، والتي سيشار إليها على التوالي ب r و r f. ثم ننظر بعد ذلك في نضج السوق T وتحديد علامات الاقتباس ذات الصلة في ما يلي. إن تقلبات أجهزة الصراف اآللي املقتبسة في سوق الفوركس هي سوق متغير، يتم اختيار إضرابه، لكل انتهاء صالحية معينة، بحيث تكون املكاملة والدعوة متشابهة ولكن مع عالمات مختلفة) ليس هناك حاجة للتحوط عند تداول هذا اجلدول (. وباستخدام سيغما أت M تقلب أتم لانتهاء الصلاحية T، يجب أن يفي ضربة أتم K أت M عند الحاجة (T) في T M (rdrf sigma2 أت M) T (e رف t في سك أت M (ردرف sigma2 أت M) T) سيغما أت مت سيغما أت مت حيث تشير فاي إلى دالة التوزيع العادية التراكمية المعيارية. الجبر المباشر يؤدي إلى: K أت M S e (rd r f sigma2 أت M) T (1) ر هي بنية نموذجية حيث يشتري أحد المكالمة ويبيع وضع مع متماثل. ويقتبس من لوائح الراديو الفرق بين اثنين من التقلبات الضمنية، سيغما 25 ج و سيغما 25 ص لتوصيل في صيغة بلاك وشولز للدعوة ووضع على التوالي. ودلالة مثل هذا السعر، في شروط التقلب، من قبل سيغما ر، لدينا: 2 سيغما ر سيغما 25 ج سيغما 25 ص (2) يتم بناء فوب من خلال بيع جهاز الصراف الآلي وشراء 25 خنق. لتكون فيغا المرجحة، وكمية من السابق يجب أن تكون أصغر من كمية هذا الأخير، لأن فيغا من سترادل أكبر من فيغا من الخنق. ثم يتم تحديد سعر فراشة s في شروط التقلب، سيغما فوب، من قبل: سيغما فوب سيغما 25 ج سيغما 25 ص 2 سيغما أت M (3) بالنسبة لانتهاء معين T، اثنين من التقلبات الضمنية سيغما 25 ج و سيغما 25 ص يمكن أن يكون التي تم تحديدها على الفور عن طريق حل نظام خطي. نحصل على: سيغما 25 c سيغما أت M سيغما V W B سيغما ر (4) 1 نحن إسقاط علامة بعد مستوى، وفقا لمصطلحات السوق. لذلك، مكالمة 25 هي المكالمة التي دلتا 25. على نحو مماثل، وضع 25 هو واحد الذي دلتا هو سيغما إيجابية ر يعني أن الدعوة هي المفضلة في أن تقلبها الضمني هو أعلى من التقلب الضمني من وضع عدد سلبي يعني عكس ذلك. 2 3 سيغما 25 p سيغما أت M سيغما V W B 1 2 سيغما ر (5) يمكن اشتقاق الضربات المقابلة ل 25 وضع و 25 استدعاء، بعد الجبر مباشرة، من خلال تذكر تعريفات كل منهما. على سبيل المثال، بالنسبة لوضع 25 يجب أن يكون لدينا الذي يؤدي على الفور إلى (e رف t في لي S 5 p (rdrf sigma2 25 p) T. 25 سيغما 25 p T 5 p S e ألفاسيغما 25 p T (ردرف sigma2 25 p) T (6) حيث ألفا: فاي 1 (1 4 إرف T) و فاي 1 هي دالة التوزيع المعكوس الطبيعية. وبالمثل، يحصل المرء أيضا على: 5 c S e ألفاسيغما 25 c T (ردرف sigma2 25 c) T (7) نشدد على أنه بالنسبة لمعلمات السوق النموذجية واستحقاقات تصل إلى عامين، ألفا غ و 3 5 p لوت K أت M لوت 5 c في القسم التالي، سنشرح كيفية استخدام التقلبات الضمنية الأساسية، والإضرابات ذات الصلة، لاستنتاج باستمرار الابتسامة بأكملها لانتهاء معين T. تحقيقا لهذه الغاية، وسوف نعمل مع نفس النوع من الخيارات ( مثل المكالمات)، مع الأخذ في الاعتبار أسعار السوق (بدلا من التقلبات). لتخفيف الترميز وتبسيط الصيغ المستقبلية، سوف نشير إلى الإضرابات المسماة (للنضج المحدد T) بواسطة K i، i 1، 2، 3، لوت لوت K 3 و 4 و K:. ويفترض أن تستوفي أسعار الخيار (السوق) ذات الصلة، التي يشار إليها على التوالي ب C مكت () و C مكت () و C مكت (K 3)، الشروط القياسية التي لا تحكيم. 3 إجراء السوق التجريبي فف النظر في خيار النداء الأوروبي مع النضج T والضربة K، الذي يرمز إلى سعر بلاك وشولز، في الوقت t، من قبل C بس (T K)، (لن S t C بس (T K) S تي رف تاو K r ta ta ta K K K K t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t . ومن المعروف أنه في ظل نموذج بلاك سكولز (1973) (بس)، يمكن تكرار المكاسب الناتجة عن المكالمة من خلال استراتيجية ديناميكية للتغيير، تتطابق قيمتها الأولية (شاملة لجزء الحساب المصرفي) مع سعر الخيار (8). في الأسواق المالیة الحقیقیة، مع ذلك، التقلب 3 بالنسبة لمواعید الاستحقاق الطویلة، فمن الممارسة السوقیة النظر في سعر الصرف الآجل باعتباره ضربة أتم. 4، و K 3 استبدال على التوالي 5 ص، K أت M و 5 ج. 3 4 هو مؤشر ستوكاستيك والتجار تحوط المخاطر المرتبطة بها من خلال بناء محافظ فيغا محايد. وبالنظر إلى الطبيعة المحددة لسوق خيارات الفوركس، يمكن أيضا إنشاء محافظ بحيث تتطابق مع المشتقات الجزئية حتى الدرجة الثانية، بحيث يكون من خلال إيتو s ليما، لدينا تحوط مثالي في فترة زمنية لا متناهية، انظر أيضا القسم 9 أدناه. ويستند الإجراء التجريبي إلى اشتقاق مثل هذه المحفظة التحوطية للمكالمة أعلاه مع استحقاق T والإضراب K. على وجه التحديد، نريد أن نجد الأوزان الزمنية t 1 (t K)، x 2 (t K) و x 3 (t K) بحيث تحافظ حافظة المكالمات الأوروبية ذات النضج T والإضرابات و K 3 على التوالي على تفاوتات أسعار النداء مع النضج T والإضراب K، حتى الدرجة الثانية في الأساس والتقلب. على افتراض وجود موقف محكم، وبالنظر إلى أنه في العالم بس، والمحافظ من خيارات الفانيلا عادي (مع نفس النضج) التي هي فيغا محايدة هي أيضا محايدة جاما، والأوزان س 1 (ر ك)، س 2 (ر ك) و x 3 (t K) من خلال فرض أن المحفظة المتماثلة لها نفس فيغا و دفيغادفول (فولغا) و دفيغادسبوت (فانا) كدعوة مع الإضراب K، وهي C بس (t K) سيغما 2 C بس (t K) 2 سيغما 2 C بس سيغما (t K) C سيغما (t K) سيغما (t K i) إكسي (t K) 2 C بس 2 سيغما (t K i) إكسي (t K) 2 C بس سيغما S t (t K i) (9) تدل من قبل V (t K) الوقت t فيغا من الخيار الأوروبي مع (نضج T و) ضربة K، V (T K) C بس سيغما (t K) S تي (d 1 (t K)) d 1 (t K) لن s t K (أردي رف sigma2) تاو سيغما تاو (x) في (x) 1 e 1 2 x2 2pi (1) وحساب الترتيب الثاني المشتقات يمكننا إثبات ما يلي. 2 C (T K) (t K) d 2 1 (t K) d 2 (t K) سيغما سيغما 2 C بس (t K) (t K) سيغما s t t سيغما تاو d 2 t K) d 2 (t K) d 1 (t K) سيغما تاو 4 5 المقترح 3.1. ويعترف النظام (9) دائما بحل فريد يعطى بواسطة x 1 (t K) x 2 (t K) x 3 (t K) V (t K) لن ككف (t) لن V (t K) V (t) V (t K) V (t K 3) لن كك لن لن K لن K (11) على وجه الخصوص، إذا كان كك j ثم xi (t K) 1 ل إيج و صفر خلاف ذلك. برهان. انظر الملحق. 4 سعر الخيار الناتج يمكننا الآن المضي قدما في تحديد سعر الخيار الذي يتسق مع أسعار السوق من الخيارات الأساسية. يتم الحصول على سعر ثابت للابتسامة للدعوة مع الإضراب K بإضافة سعر بس تكلفة تنفيذ استراتيجية التحوط المذكورة أعلاه بأسعار السوق السائدة. في الصيغ، بالنسبة لل t و C (K) C بس (K) إكسي (K) C مكت (K i) C بس (K i) (12) حيث، لتخفيف التدوين، يكون الاعتماد على وقت التقييم t تم حذفها عند الصفر. 5 ويعرف سعر اخليار اجلديد باإسافة اإىل سعر بس الابتسامة املسطح فرق التكلفة يف حمفظة التحوط الناجتة عن التقلبات الضمنية يف السوق فيما يتعلق بالتغري املستمر للسقمة. وترد أدناه متانة ونتائج الاتساق لسعر الخيار (12). عندما K K j لدينا بوضوح أن C (K j) C مكت (K j)، منذ x ط (K) 1 ل i j و صفر خلاف ذلك. ولذلك، (12) لا يعرف سوى قاعدة لاستكمال أو استقراء الأسعار من الخيارات الثلاثة يقتبس C مكت ()، C مكت () و C مكت (K 3). ويمكن عندئذ إنشاء منحنى تقلب ضمني في السوق عن طريق عكس (12) لكل K من K، من خلال صيغة بس. ويرد مثال على هذا المنحنى في الشكل 1، حيث أننا مؤامرة التقلبات الضمنية على حد سواء ضد الإضرابات وضد وضع دلتاس. نستخدم بيانات يوروس التالية اعتبارا من 1 يوليو 25: T 3m (94365y)، S 1.25، سيغما أت M 9.5، سيغما ر .5، سيغما فوب .13، والتي تؤدي إلى سيغما 25 ج 8.93، سيغما 5 ج 9.5، سيغما 25 p 9.43، K أتم. 5 p و 5 c انظر أيضا الجدولين 1 و 2. 5 هذا السعر يعتمد على معامل تقلب سيغما. في الممارسة العملية، الخيار النموذجي هو تعيين سيغما سيغما أت M. 5 6 التقلب سترايك بوت دلتا الشكل 1: التقلبات الضمنية لليورو مقابل الدولار الأميركي ترسم على حد سواء ضد الضربات وضد الدلتا، حيث يتم تسليط الضوء على أسعار السوق الثلاثة الأساسية. يفي سعر الخيار C (K)، كدالة للإضراب K، بالشروط التالية (المربعات): 1) سيسي 2 ((،)) 2) كك (K) S e رف T و ليم كك (K) 3) دس K (K) دك e ردت و ليم كك دس (K). دك الخصائص الثانية والثالثة، التي ترضيها تافهة C بس (K)، تتبع من حقيقة أن كل من i، كل من x i (K) و دكس i (K) دك يذهب إلى الصفر ل K أو K. ولتجنب فرص المراجحة، ينبغي أن يكون سعر الخيار C (K) دالة محدبة للإضراب K، أي 2 غ d (K) غ لكل كرت غ. هذه الخاصية، وهذا ليس صحيحا في العام، 6 مع ذلك مع المعلمات السوق نموذجية، بحيث (12) يؤدي في الواقع إلى أسعار خالية من المراجحة في الممارسة العملية. 5 تقريب للتقلبات الضمنية إن التعريف السابق لسعر الخيار، مقترنا مع الصيغة التحليلية (11) للأوزان، يسمح باقتطاع تقريب مباشر للتقلب الضمني المرتبط ب (11). ويرد وصف ذلك في ما يلي. المقترح 5.1. ويعطى التقلب الضمني سيغما (k) للخيار المذكور أعلاه مع السعر C (K) تقريبا بواسطة سيغما (k) سيغما 1 (K): لن كك سيغما لن 25 p لن كك سيغما لن أتم لن k k سيغما 25 c (c) 13) 6 يمكن للمرء أن يجد في الواقع الحالات التي تنتهك فيها التفاوتات في بعض الإضرابات K. 6 7 تقريب الابتسامة الحقيقية 11 تقريب الابتسامة الحقيقية سترايك بوت دلتا الشكل 2: التقلبات الضمنية لليورو مقابل الدولار الأمريكي وتقريباتها، التي رسمت على حد سواء ضد الضربات وضد الدلتا. برهان. انظر الملحق. وبالتالي فإن التقلب الضمني سيغما (k) يمكن تقريبه من خلال مزيج خطي من التقلبات الأساسية، مع المضافات y ط (K) التي تلخص واحد (كما يظهر الجبر مملة ولكن مباشرة). ومن السهل أيضا ملاحظة أن التقريب هو دالة تربيعية ل لن K، بحيث يمكن للمرء أن يلجأ إلى استيفاء مكافئ بسيط عند استخدام إحداثيات السجل. ويوضح الشكل 2 تمثيل رسومي لخير التقريب (13)، حيث نستخدم نفس بيانات اليورو مقابل الدولار الأمريكي (أوسد) كما في الشكل 1. التقريب (13) دقيق للغاية داخل الفاصل الزمني، K 3. الأجنحة، ومع ذلك، تميل إلى المبالغة. في الواقع، كونها الشكل الوظيفي التربيعية في لوغستريك، وظروف عدم التحكيم التي اشتقها لي (24) لقيمة متناظرة من التقلبات الضمنية هنا انتهكت. ويعالج هذا العيب من قبل ثانية، أكثر دقة، تقريب، وهو ثابت بشكل ثابت في الضربات المتطرفة. المقترح 5.2. ويمكن تقريب التقلب الضمني سيغما (k) على نحو أفضل كما يلي: حيث سيغما (k) سيغما 2 (K): سيغما سيغما سيغما 2 d 1 (K) d 2 (K) (2sigmaD 1 (K) D 2 (K) ) d 1 (K) d 2 (K) D 1 (K): لن كك سيغما لن 25 p لن كك سيغما لن أتم لن K لن K سيغما 25 c سيغما سيغما 1 (K) سيغما D 2 (K): لن كك (d) 1 (K 3) d 2 (K 3) (سيغما 25 c سيغما) 2 7، (14) K d لن 1 (k 3) d 2 () سيغما 25 p سيغما () سيغما أتم سيغما) 2 8 .115 الابتسامة الحقيقية تقريب .15 الابتسامة الحقيقية تقريب الإضراب وضع ديلتاس الشكل 3: التقلبات الضمنية لليورو مقابل الدولار الأميركي وتقريباتها، تآمر على حد سواء ضد الضربات وضد الدلتا. و d 1 (x) لن s x (r d r f sigma2) T سيغما، d 2 (x) d 1 (x) سيغما T، x T بروف. انظر الملحق. كما يمكننا أن نرى من الشكل 3، التقريب (14) هو دقيق للغاية أيضا في الأجنحة. والعيب الوحيد هو أنه قد لا يتم تعريف بسبب وجود مصطلح الجذر التربيعي. ومع ذلك، فإن راديكاند إيجابي في معظم التطبيقات العملية. 6 نتيجة الاتساق الأول للسعر C (K) نحن الآن نذكر اثنين من نتائج الاتساق الهامة التي تعقد لسعر الخيار (11) والتي تعطي المزيد من الدعم للإجراءات التجريبية المذكورة أعلاه. والنتيجة الأولى هي كما يلي. يمكن للمرء أن يتساءل ماذا يحدث إذا طبقنا طريقة بناء منحنى لدينا عند البدء من ثلاث ضربات أخرى تتزامن الأسعار المرتبطة بها مع تلك القادمة من الصيغة (12). ومن الواضح أن الإجراء لدينا لتكون قوية، ونحن نريد أن اثنين من المنحنيات تتزامن بالضبط. في الواقع، والنظر في مجموعة جديدة من الضربات H:، والدلالة على الأوزان السابقة x ط (K) من قبل ط ط (K K) للتأكيد على الاعتماد على مجموعة من الضربات الأولية. على سبيل المثال، شي (خ) سوف تشير إلى الأوزان للإضراب K التي يتم اشتقاقها من مجموعة جديدة من الإضرابات H. سعر الخيار لكل H ط هو، من خلال الافتراض، يساوي أن يأتي من (12)، أي تش (H i) C (H i) C (H i K) C (K i) C (K j) C بس (K j) (15) j1 8 9 حيث تسلط الحروف السفلية H و K الضوء على مجموعة الضربات مبني على. وفي حالة الإضراب العام K، يعرف سعر الخيار المرتبط بالحرف H، على نحو مماثل (12)، بواسطة C (K) C (K) (H) (H) (H). j1 المقترح 6.1. وتتفق أسعار المكالمة على أساس H مع تلك التي تستند إلى K، أي لكل ضربة K، C H (K) C K (K) (16) إثبات. انظر الملحق. 7 نتيجة الاتساق الثانية للسعر C (K) نتيجة الاتساق الثانية التي يمكن تثبيتها لسعر الخيار (11) تتعلق تسعير المشتقات على النمط الأوروبي وتكرارها الثابت. تحقيقا لهذه الغاية، افترض أن h هو وظيفة حقيقية التي يتم تعريفها على،)، يتم التصرف بشكل جيد في اللانهاية و مرتين التفريق في معنى التوزيعات. نظرا لمطالبة بسيطة مع المردود ح (ق T) في الوقت T، ونحن دلالة من قبل V سعره في الوقت المناسب، عند الأخذ بعين الاعتبار تأثير الابتسامة. بقلم كار أند مادان (1998)، لدينا ما يلي: V e رديت h () h (x) c (x) دكس يمكن تطبيق نفس المنطق الذي تم اعتماده قبل إنشاء منحنى التقلب الضمني على والمردود العام ح (ق T). وهكذا يمكننا بناء محفظة من المكالمات الأوروبية مع النضج T والإضرابات، و K 3، بحيث أن محفظة لها نفس فيغا، دفيغادفول و دفيغادسبوت كما مشتق معين. ويتحقق ذلك من قبل V بس سعر المطالبة تحت نموذج بلاك وشولز (1973)، ويتحقق ذلك من خلال إيجاد الأوزان ش 1، ش 2 و ش 3 مثل أن V بس سيغما 2 V بس 2 سيغما 2 V بس سيغما S زيكسشيشي C بس سيغما (K i) 2 C بس 2 سيغما (K i) 2 C بس سيغما S (K i) التي تكون دائما فريدة من نوعها، كما ثبت بالفعل في الاقتراح 3.1. ثم يمكننا تحديد سعر جديد (ثابت الابتسامة) لمشتقاتنا مثل V V بس x h i C (K i) C بس (K i) (17) 9 10 المقترح 7.1. إن سعر المطالبة الذي يتماشى مع أسعار الخيار "ج" يساوي سعر المطالبة الذي يتم الحصول عليه عن طريق تعديل سعره الأسود وسكولز عن طريق فرق التكلفة لمحفظة التحوط عند استخدام أسعار السوق C (K i) بدلا من أسعار التقلبات الثابتة C بس (K i). في الصيغ V V إثبات. انظر الملحق. هذا الاقتراح ينص على نتيجة الاتساق واضحة للمطالبات بسيطة (على النمط الأوروبي). في الواقع، إذا قمنا بحساب محفظة التحوط للمطالبة تحت التقلبات المسطحة وإضافة سعر المطالبة) المحسوب مع نموذج بلاك وشكولز (فإن الفرق في التكلفة لمحفظة التحوط) سعر السوق مطروحا منه سعر التقلب الثابت (، سعر المطالبة كما تم الحصول عليها من خلال كثافة محايدة المخاطر التي تنطوي عليها أسعار خيار الدعوة التي تتفق مع ابتسامة السوق. وسيتم تطبيق هذه النتيجة المفيدة في القسم التالي على الحالة المحددة لخيار كمي. 8 مثال: ابتسامة تسعير متسق لخيار كمي الخيار الكمي هو مشتق يدفع عند النضج T مبلغ أوميغا (s تكس) بالعملة الأجنبية، وهو ما يعادل أوميغا (ق تكس) ست بالعملة المحلية، حيث أوميغا 1 لمكالمة وأوميغا 1 لوضع. الحجج القياسية على النسخ المتماثل ثابت يعني أن المكالمة الكمية ووضع الأسعار يمكن أن تكون مكتوبة من حيث الدعوة عادي الفانيليا ووضع الأسعار على النحو التالي قال (T، X) 2 X كبوت (T، X) زب (X) 2 C (K) دك شك (X) زب (K) دك (18) حيث P (X) هو سعر الشراء مع الإضراب X والنضج T، أي P (X) C (X) S e رف تكس e رديت. نحن الآن تحقق، مع بيانات السوق الحقيقية، أن أسعار الخيار الكمي (18) يساوي الأسعار (17) القادمة من حجج التحوط. ولتحقيق هذه الغاية نستخدم بيانات السوق اعتبارا من 1 يوليو، 25، كما هو مبين في الجدولين 1 و 2. وترد حساباتنا في الجدول 3، حيث يتم مقارنة أسعار الخيارات الكمية المحسوبة مع حجج التحوط، أي مع الصيغة (17) مع أسعار النسخ المتماثل الثابتة (18) التي يتم الحصول عليها باستخدام 5 و 3 خطوات، وعلى التوالي، خطوة ضربة ثابتة من 15 و 25. 7 كما تظهر الفروق المئوية بين هذه الأسعار. 7 وبطبيعة الحال يمكن حساب التكامل في (18) مع إجراءات أكثر كفاءة. هنا، ومع ذلك، نحن نريد فقط أن تظهر عدديا صحة إجراءات التسعير لدينا. 1 11 عامل انتهاء الصلاحية بالدولار الأمريكي عامل خصم اليورو 3m: 31 y: 37 الجدول 1: بيانات السوق اعتبارا من 1 يوليو 2015. دلتا 3M 1Y 25 وضع أجهزة الصراف الآلي 25 الاتصال الجدول 2: الإضرابات والتقلبات المناظرة لثلاثة دلتا الرئيسية من 1 يوليو 25. والغرض من هذا المثال هو أيضا لإظهار أن أسعار الخيارات الكمية يمكن أن تستمد، بما يتفق مع ابتسامة السوق، وذلك باستخدام ثلاثة خيارات أوروبية فقط وليس سلسلة متصلة من الإضرابات، كما هو ضمنا من قبل (18). 9 متانة إجراءات التسعير نختتم المقالة بتحفيز إجراء التسعير التجريبي أيضا من الناحية الدينامية. ويمكن تبرير النهج التعسفي الواضح المتمثل في تقصير المشتقات الجزئية لأسعار بس حتى الدرجة الثانية بحقيقة أن نموذج بس لا يزال معيارا في تقييم دفتر الخيارات. وهناك عدة أسباب لهذه الحقيقة، بصرف النظر عن التاريخ التاريخي الواضح: 1) سهولة التنفيذ (2) معنى واضح وبديهي للمعلمات النموذجية 3) الحساسيات المتاحة بسهولة و (4) إمكانية صياغة صيغ واضحة لمعظم المكاسب. لا يوجد نموذج آخر يمتلك كل هذه الميزات في نفس الوقت. 8 في الواقع، ليس من الممارسة الغريبة تشغيل كتاب خيار الفوركس من خلال إعادة تقييمه والتحوط له وفقا لنموذج بس ابتسامة مسطحة، على الرغم من أن تقلبات أجهزة الصراف الآلي يتم تحديثها باستمرار إلى مستوى سوق التداول. 9 نثبت الآن أنه إذا تم تقييم جميع الخيارات الأوروبية مع نفس التقلب الضمني (مؤشر ستوكاستيك) (دعنا نقول تقلب أجهزة الصراف الآلي)، وتغير قيمة المحفظة التحوط محليا تتبع تلك الدعوة. تحقيقا لهذه الغاية، ونحن نعتبر وقتا عاما t وتفترض ديناميات مثل إيتو لتقلب سيغما سيغما t. وهكذا، يكون لدينا، بواسطة إيتو s ليما، دس بس (t K) C بس (t K) دت C بس (t K) دسيغما ت S سيغما C بس (t K) 2) (19) C بس (t K) (دسيغما 2 سيغما 2 t) C بس (t K) دس t دسيغما t S سيغما 8 الاستثناء المحتمل هو نموذج معلمات عدم التيقن في بريغو و ميركوريو و رابيساردا (24) . 9 يعني عادة بشكل مستمر تحديثا يوميا أو أكثر تواترا قليلا. 11 12 سترايك إكسيري 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y حجج التحوط استدعاء وضع ثابت النسخ المتماثل (5 خطوات) استدعاء بت وضع ديف ديف النسخ المتماثل ثابت (3 خطوات) استدعاء بت وضع بت ديف الجدول 3: مقارنة أسعار الخيارات الكمية التي تم الحصول عليها من خلال الصيغ ( 17) و (18). وإذا افترضنا أيضا وجود موقف محكم وأن الضربات K i هي تلك المستمدة في المرة الأولى، نحصل على الفور على المحطة دس بس (t K) C بس (t K) إكسي (t K) دس بس (t K i) t C بس (t K) سيغما 1 2 C بس (t K) 2 S 2 C بس (t K) 2 سيغما 2 2 C بس (t K) S سيغما إكسي (t K) C بس (t K i) (T K) 2 C بس (t K 1) S 2 إكسي (t K) 2 C بس (t K i) سيغما 2 إكسي (t K) 2 C بس (C) t ك) i سيغما (دس t) 2 (دسيغما t) 2 دس t دسيغما t الفترة الثانية والرابعة والخامسة في رس من (2) هي صفر حسب تعريف الأوزان إكسي، في حين أن الثالثة هي صفر بسبب وعلاقة ربط الخيارات غاما و فيغا في عالم بس. وللسبب نفسه، مع التذكير بأن كل خيار هو - تم حجبه، نحن أيضا (2) 12 13 بحيث تكون C بس (t K) t دس بس (t K) إكسي (t K) C بس (t K i) (T K) x (t k) x (t k i) r c d d بس (t K) إكسي (t K) C بس (t K i) (21) إكسي (t K) C بس ( t K i) دت (22) ويعرف التعبير في رس بهذه المعادلة في الوقت t. ولذلك، فإن المحفظة المصنوعة من موقف طويل في المكالمة مع الإضراب K وثلاثة مراكز قصيرة في x ط (T K) تدعو إلى الإضراب K أنا غير محفوف بالمخاطر محليا في الوقت t، في أن أي مصطلحات عشوائية تشارك في فرقها. وكما هو معلوم جيدا، فإن نموذج "بس" يكون طويلا، حيث أن المكالمة مع الإضراب "ك" والقصيرة "ج" من الأصول الأساسية تعادل عقد محفظة محفوفة بالمخاطر محليا. عندما يكون التقلب هو مؤشر ستوكاستيك، ويتم تقييم الخيارات حتى الآن مع صيغة بس، لا يزال لدينا التحوط المثالي (محليا)، شريطة أن نحمل كميات مناسبة من ثلاثة خيارات مختلفة. قد يتساءل المرء لماذا نحتاج إلى ثلاثة خيارات لاستبعاد عدم اليقين بسبب التقلب العشوائي، وليس مجرد واحد كما يحدث عادة عند إدخال مصدر (واحد أحادي) آخر من العشوائية. والسبب ذو شقين. أولا، نحن لا نستخدم نموذج ثابت، ولكن ببساطة إجراء التقييم. في الواقع، لا يمكن نشر نموذج التقلب العشوائي ثنائي الأبعاد إنتاج ابتسامات مسطحة لجميع آجال الاستحقاق. ثانيا، نحن لا نفترض ديناميات محددة لالأساسية والتقلب، ولكن فقط نشر عام. والخيارات الثالثة، في الواقع، ضرورية أيضا لاستبعاد المخاطر النموذجية، حيث أن استراتيجيتنا للتحوط مستمدة بغض النظر عن الأصول الحقيقية وديناميات التقلب (في ظل افتراض عدم وجود قفزات). 1 الاستنتاجات لقد وصفنا إجراء تجريبي في السوق لبناء منحنيات تقلب ضمنية في سوق الفوركس. لقد رأينا أن بناء الابتسامة يؤدي إلى صيغة تسعير لأي مطالبة على النمط الأوروبي. ثم ثبت نتائج الاتساق على أساس تكرار ثابت وعلى الحجج التحوط. إجراء بناء الابتسامة وصيغة التسعير ذات الصلة عامة إلى حد ما. في الواقع، على الرغم من أنها قد وضعت لخيارات الفوركس، ويمكن تطبيقها في أي سوق حيث تتوفر ثلاثة تقلبات تقلب لنضج معين. وهناك قضية أخيرة لم تحل تتعلق بتقييم الخيارات الغريبة عن طريق تعميم بعض الإجراءات التجريبية التي أوضحناها في هذه المقالة. وهذه مسألة معقد ة بوجه عام يتعامل معها، مع الأخذ في الاعتبار أيضا أن التقلبات الضمنية الحالية لا تتضمن إلا معلومات عن الكثافة الهامشية، وهي بالطبع ليست كافية لتقييم المشتقات التي تعتمد على المسارات. وبالنسبة للمطالبات الغريبة، تستخدم عادة إجراءات مخصصة. 13 على سبيل المثال، يمكن الحصول على أسعار خيار الحاجز من خلال موازنة الفرق في التكلفة لاستراتيجية تكرار من قبل احتمال (محايد المخاطر) عدم عبور الحاجز قبل النضج. ومع ذلك، فإن هذه التعديلات ليست أكثر صعوبة لتبرير نظريا من تلك الموجودة في قضية الفانيلا البسيطة، ولكن من وجهة النظر العملية، يمكن أن يكون لها حتى علامة عكسية فيما يتعلق بذلك ضمنا في أسعار السوق. الملحق أ: البراهين دليل على الاقتراح 3.1. كتابة النظام (9) في الشكل 1 (t ك) A x 2 (t K) B، x 3 (t K) الجبر المباشر يؤدي إلى ديت (a) V (t) V (t) V (t K 3) s سيغما 2 d2 (t K 3) d 1 (t) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t K 3) d 2 (t K 3) T d 1 (t) d 2 ) d 2 (t K 3) d 1 (t K 3) d 2 (t K 3) d 2 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 (t) d 1 (t) d 2 t) d 2 (t) V (t) V (t) V (t K 3) S سيغما 5 T 2 لن (23) وهو إيجابي تماما منذ لوت لوت K 3. ولذلك، (9) يعترف حل فريد و (11) من قاعدة كرامر. إثبات الاقتراح 5.1. في الدرجة الأولى في سيغما، واحد لديه C (K) C بس (K) إكسي (K) V (K i) سيغما (كي) سيغما، والتي، تذكر (11) وحقيقة أن 3 إكسي (ك) الخامس (كي (K) سيغما (K i) سيغما، حيث Y 1 (K) لن كك لن y 2 (K) لن كك لن y 3 (K) لن K لن K 14 15 ثم (13) يتبع من الدرجة الأولى التايلور التوسع C (K) C بس (K) V (K) سيغما (K) سيغما. إثبات الاقتراح 5.2. في الترتيب الثاني في سيغما، يكون واحد له C (K) C بس (K) على نحو مماثل، حتى نتمكن من كتابة إكسي (K) V (K i) (سيغما (كي) سيغما) C بس 2 2 سيغما (K i) سيغما (كي) سيغما) 2. C (K) C بس (K) V (K) (سيغما (K) سيغما) C بس (K) (سيغما (K) 2 سيغما) 2 سيغما V (K) (سيغما K) سيغما (سيغما (K) 2 سيغما) 2، سيغما 2 C بس 2 سيغما (K i) (سيغما (كي) سيغما) 2 حل هذه المعادلة الجبرية من الدرجة الثانية في سيغما (ك) ثم يؤدي إلى (14). إثبات الاقتراح 6.1. والمساواة (16) تحمل إذا وفقط إذا. (ك) C (H) J1 إكسي (كك) C (K i) C بس (K i) باستخدام (15) وإعادة ترتيب المصطلحات، يمكن كتابة الجانب الأيسر كما شي (خ ) C (H j) C بس (H j) C بس (H) J1 x (J) C (K j) C (K j) C (K i) j1 الذي يساوي الجانب الأيمن من المساواة المذكورة أعلاه، لأن كل ضربة K و j 1 و 2 و 3 و إكسي (كك) شي (خ) إكسي (H j K) (24) j1 التالية من مملة، ولكن مباشرة، وتطبيق الصيغة (11) للأوزان. 15 16 إثبات الاقتراح 7.1. وبالنسبة لكل مشغل L، لدينا دس h (K) لك بس (K) دك h (k) C h (h) K e رف t h h (h) (K) x (K) لك بس (K) دس h (K) إكسي (K) لك بس (K i) دك h (K) إكسي (K) دك لك بس ) من خلال التفرد للأوزان شهي لدينا بالتالي شهي الاستبدال في (17)، نحصل على فف بس V بس V بس h (K) h (K) إكسي (K) دك، ط 1، 2، 3 ساعة (K) (K) C (K) C (K i) C بس (K i) دك V بس فف بس V h (K) C (K) C بس (K) دك 11 التذييل ب: الكثافة احملايدة املضمونة للمخاطر يتم حتديد سعر فف) 12 (دون إدخال افتراضات محددة حول توزيع األصل املعني. ومع ذلك، فإن معرفة أسعار الخيارات لكل ضربة محتملة تحدد ضمنا كثافة فريدة من نوعها محايدة المخاطر التي تتفق معها. في الواقع، 16 17 8 7 فانا فولغا بامبس الشكل 4: الكثافة المحايدة للمخاطر فانا فولغا مقارنة مع واحد لوغنورمال القادمة من نموذج بس مع تقلبات أجهزة الصراف الآلي. يمكن الحصول على الكثافة المحايدة للمخاطر T من سعر الصرف ست عن طريق التمييز بين سعر الخيار مرتين (12): P T (K) e T 2 C (K) من خلال النتيجة العامة ل بريدن و ليتزنبرجر (1978) إرد T 2 C بس (K) إرد T i 2 إكسي (K) C مكت (K i) C بس (K i). (25) المصطلح الأول في رس هو الكثافة اللوغورمالية p بس T المرتبطة بالحركة البنيانية الهندسية مع معدل الانجراف r d r f والتقلب سيغما. المصطلح الثاني، وهو الانحراف عن لورنورماليتي الناجم عن ابتسامة فف، هو أكثر انخراطا ويمكن حسابها عن طريق التفريق مرتين الأوزان (11). نحصل على: 2 × 1 K (K) 2 2 × 3 K (K) 2 V (K) سيغما 2 تف () لن 2sigma T d 1 (K) لن K 3 V (K) سيغما 2 تف (K 3) 2 سيغما T d 1 (K) لن (d1 (K) 2 سيغما T d 1 (K) 1) لن (سيغما 2 T لن K) 2K K 2 (d1 (K) 2 سيغما T d 1 (K) 1) لن (سيغما 2 T لن K) 1K كك لن يبين الشكل 4 الكثافة المحايدة للمخاطرة المرتبطة بالمادة (12) حيث تقارن مع الكثافة اللوغورية المعيارية p بس T 17 17 المراجع 1 بلاك، F. أند ششولز، M. (1973) التسعير للخيارات والخصوم المؤسسية. جورنال أوف بوليتيكال إكونومي 81، 2 بريدن، D. T. أند ليتزنبرجر، R. H. (1978) برايس أوف ستات-كونتيننت كليمز إنتيجنت أوبتيون بريسز. مجلة الأعمال 51، 3 بريغو، D. ميركوريو، F. و رابيساردا، F. (24) ابتسامة على عدم اليقين. المخاطر 17 (5)، 4 كار، P. P. و مادان، D. B. (1998) نحو نظرية التقلب التجاري. في إدارات فولاتيليتي. قانون الجمهورية جارو ريسك بوكس ​​5 لي، R. W. (24) صيغة لحظة للتقلبات الضمنية في الضربات المتطرفة. التمويل الرياضي 14 (3)، التسعير المتسق لخيارات العملات الأجنبية أنطونيو كاستاغنا فابيو ميركوريو في الأسواق الحالية، عادة ما تكون الخيارات مع ضربات مختلفة أو آجال استحقاق مختلفة مع تقلبات ضمنية مختلفة. هذه الحقيقة المنمقة، والتي يشار إليها عادة باسم تأثير أسفسميل، يمكن استيعابها من خلال اللجوء إلى نماذج محددة، إما لتسعير المشتقات الغريبة أو لاستنتاج التقلبات الضمنية للإضرابات غير المسعرة أو آجال الاستحقاق. وعادة ما تتحقق المهمة السابقة من خلال إدخال ديناميات بديلة لسعر الأصول الأساسي، في حين أن هذه الأخيرة غالبا ما يتم معالجتها عن طريق تعديلات ثابتة أو استيفاء. في هذه المقالة، ونحن نتعامل مع هذه المسألة الأخيرة وتحليل حل ممكن في سوق العملات الأجنبية (فكس) خيار السوق. في مثل هذه السوق، في الواقع، هناك ثلاثة فقط يقتبس النشطة لكل نضج السوق (0Delta سترادل، وعكس المخاطر والفراغ المرجح فيغا)، مما يعرض لنا مع مشكلة تحديد ثابت من التقلبات الضمنية الأخرى. FX brokers and market makers typically address this issue by using an empirical procedure to construct the whole smile for a given maturity. Volatility quotes are then provided in terms of the options Delta, for ranges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency. In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit. We will then test the robustness (in a static sense) of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve. We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option. We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Number of Pages in PDF File: 15 Keywords: FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility JEL Classification: G13 Date posted: January 5, 2006Consistent Pricing of FX Options Antonio Castagna Fabio Mercurio In the current markets, options with different strikes or maturities are usually priced with different implied volatilities. This stylized fact, which is commonly referred to asfsmile effect, can be accommodated by resorting to specific models, either for pricing exotic derivatives or for inferring implied volatilities for non quoted strikes or maturities. The former task is typically achieved by introducing alternative dynamics for the underlying asset price, whereas the latter is often tackled by means of statical adjustments or interpolations. In this article, we deal with this latter issue and analyze a possible solution in a foreign exchange (FX) option market. In such a market, in fact, there are only three active quotes for each market maturity (the 0Delta straddle, the risk reversal and the vega-weighted butterfly), thus presenting us with the problem of a consistent determination of the other implied volatilities. FX brokers and market makers typically address this issue by using an empirical procedure to construct the whole smile for a given maturity. Volatility quotes are then provided in terms of the options Delta, for ranges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency. In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit. We will then test the robustness (in a static sense) of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve. We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option. We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Number of Pages in PDF File: 15 Keywords: FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility JEL Classification: G13 Date posted: January 5, 2006